Ensemble ZnZ - Anneau des entiers congrus modulo n

Définition

$$\begin{align}{{{\Bbb Z}/n{\Bbb Z}}}=&{{\{\bar 0,\bar1,\bar2,\ldots,\overline{n-1}\} }}\\ &{{\text{ où }\bar p\text{ est la classe d'équivalence de }p\text{ modulo }n }}\end{align}$$
(Classe d'équivalence modulo n)

Propriétés

Addition

Addition sur ${\Bbb Z}/n{\Bbb Z}$ : $$\bar p+\bar q={{\overline{p+q} }}$$

Théorème chinois

Lien entre groupe additif et groupe multiplicatif

Proposition :
Soit $p$ un nombre premier
$${{({\Bbb Z}/p{\Bbb Z},\times)}}\simeq{{({\Bbb Z}/(p-1){\Bbb Z},+)}}$$

Groupes de Sylow

Proposition :
Pour le groupe ${\Bbb Z}/m{\Bbb Z}$, le $p$-Sylow est $\langle{\bar n}\rangle $ (avec $m=p^\alpha n$, $n\wedge p=1$)